Question

設橢圓的一個頂點與拋物線的焦點重合，分別是橢圓的左、右焦點，且離心率且過橢圓右焦點的直線與橢圓C交于兩點.
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線，使得.若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.
（3）若AB是橢圓C經過原點O的弦， MNAB，求證：為定值

Answer 1

解：橢圓的頂點為，即
，解得，  橢圓的標準方程為 …… 3分
（2）由題可知,直線與橢圓必相交.
①當直線斜率不存在時，經檢驗不合題意．
②設存在直線為，且，.
由得，                     
，，

=  
所以，故直線的方程為或 …………8分
（3）設,
由（2）可得：  |MN|=
=.
由消去y，并整理得： ，
|AB|=，∴ 為定值

解析