Question

已知a、b、c是△ABC三邊長，關于x的方程ax2-2

c2-b2

x-b=0(a＞c＞b)的兩根之差的平方等于4，△ABC的面積S=10

3

，c=7．
（I）求∠C；
（II）求a、b的值．

Answer 1

分析：（I）設出方程的兩個根，利用韋達定理求出兩根之和，兩根之積，根據兩根之差的平方等于4，利用完全平方公式化簡后，把兩根之和和兩根之積代入即可得到關于a和b的關系式，然后利用余弦定理表示出cosC，把求得的關系式代入即可求出cosC的值，然后根據C的范圍和特殊角的三角函數值即可求出C的度數；
（II）根據三角形的面積公式及sinC的值表示出面積S，讓S等于10

3

得到ab的值記作①，根據余弦定理表示出一個關系式，把及c的值和cosC的值代入即可求出a+b的值記作②，聯立①②即可求出a與b的值．

解答：解：（I）設x₁，x₂為方程ax2-2

c2-b2

x-b=0的兩根．
則x1+x2=

2 c2-b2

a

，x1•x2=

-b

a

．
∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=

4(c2-b2)

a2

+

4b

a

=4．
∴a²+b²-c²=ab．
又cosC=

a2+b2-c2

2ab

，
∴cosC=

1

2

，
∴∠C=60°；
（II）由S=

1

2

absinC=10

3

，∴ab=40．①
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，
即c²=（a+b）²-2ab（1+cos60°），
∴72=(a+b)2-2×40×(1+

1

2

)，
∴a+b=13．②
由①、②，得a=8，b=5．

點評：此題考查學生靈活運用余弦定理、三角形的面積公式及韋達定理化簡求值，是一道綜合題．