Question

某鄉為提高當地群眾的生活水平,由政府投資興建了甲、乙兩個企業,2007年該鄉從甲企業獲得利潤320萬元,從乙企業獲得利潤720萬元.以后每年上交的利潤是：甲企業以1.5倍的速度遞增,而乙企業則為上一年利潤的.根據測算,該鄉從兩個企業獲得的利潤達到2000萬元可以解決溫飽問題,達到8100萬元可以達到小康水平.

（1）若以2007年為第一年,則該鄉從上述兩個企業獲得利潤最少的一年是那一年,該年還需要籌集多少萬元才能解決溫飽問題？

（2）試估算2015年底該鄉能否達到小康水平？為什么？

【解題思路】經審題抽象出數列模型

Answer 1

（1）第二年（2008年）上交利潤最少，利潤為960萬元.還需另籌資金1040萬元可解決溫飽問題.

（2）該鄉到2015年底可以達到小康水平.

解析:

（Ⅰ）若以2007年為第一年,則第n年該鄉從這兩家企業獲得的利潤為

    == 

  當且僅當,即n=2時,等號成立，

所以第二年（2008年）上交利潤最少，利潤為960萬元.

由2000–960=1040（萬元）知：還需另籌資金1040萬元可解決溫飽問題.

（Ⅱ）2015年為第9年,該年可從兩個企業獲得利潤

 

所以該鄉到2015年底可以達到小康水平.

【名師指引】本題重點考查數列的相關知識,基本不等式起到了工具性的作用.