Question

【題目】兩個數列、，當和同時在時取得相同的最大值，我們稱與具有性質，其中.

（1）設的二項展開式中的系數為（），，記，，，依次下去，，組成的數列是；同樣地，的二項展開式中的系數為（），，記，，，依次下去，，組成的數列是；判別與是否具有性質，請說明理由；

（2）數列的前項和是，數列的前項和是，若與具有性質，，則這樣的數列一共有多少個？請說明理由；

（3）兩個有限項數列與滿足，，且，是否存在實數，使得與具有性質，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）不具有；見解析（2）102；見解析（3）見解析，.

【解析】

（1）展開式中系數最大項為，然后再判斷展開式中的系數是否是最大值，即可得結果；

（2）令，則，結合，求得，求得的最大值，由與具有性質，可得時，，由，結合求得的范圍，再由是等差數列，可得，然后聯立，解出數列的個數；

（3）由進行迭代，可得，因為與具有性質，

所以，從而可

解：（1）展開式的通項為，則數列的通項為

故數列中的最大值為

展開式的通項為，

而當時，得，

所以與不具有性質

（2）令，則，

由，即，

解得，

因為，

所以當時，,

因為 與具有性質，

所以時，，

因為，

所以，

因為，

所以，

由，解得共有102個數列；

（3）因為，

當，時，

所以

當時，符合上式

所以，

因為與是有限項數列，所以一定存在最大項，

設，因為與具有性質，

所以，

顯然成立，

假設，則顯然，矛盾

同理，也矛盾，

所以