Question

【題目】已知.

（1）求的單調區間；

（2）若，恒有成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）在和上單調遞減（2）

【解析】

（1）求導后可得，令，求導后可得的單調性，進而可得，即可得解；

（2）設，求導后可得，令，對求導后可得，按照、分類討論即可得解.

（1）的定義域為，，

令，則，

注意到的定義域為，

因此在上單調遞增，在上單調遞減，

即，即恒成立，

從而在和上單調遞減.

（2）不等式等價于，設，

則，

設，則，

注意到單調遞增，且，

當時，，故單調遞增，

從而，

取，

則，

故，使得，從而在上單調遞減，

故當時，，與題設矛盾；

令，則，

則在上單調遞增，所以，

所以在上成立，

當時，由可知：

，

注意到，則恒成立，

因此單調遞增，從而，恒有，符合題意.

綜上可知，的取值范圍為.