Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f（x+2）=-f（x），當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)=

1

2

x，則使f(x)=-

1

2

的x的值是（　　）

A．2n（n∈Z）

B．2n-1（n∈Z）

C．4n+1（n∈Z）

D．4n-1（n∈Z）

Answer 1

分析：根據(jù)f（x）是奇函數(shù)且f（x+2）=-f（x）求出函數(shù)的周期，以及-1≤x≤0時(shí)的解析式，然后求出在[-1，1]上滿足方程f（x）=-

1

2

的解，最后根據(jù)周期性即可選得答案．

解答：解：∵f（x）是奇函數(shù)且f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x）
∴函數(shù)f（x）的周期T=4．
∵當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=

1

2

x，又f（x）是奇函數(shù)，
∴當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，f（x）=

1

2

x，
令

1

2

x=-

1

2

解得：x=-1
而函數(shù)f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，
∴方程f（x）=-

1

2

的x的值是：x=4k-1，k∈Z．
故選D．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和遞推關(guān)系，利用函數(shù)的奇偶性和周期性結(jié)合來轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，屬于中檔題．