Question

已知圓的圓心為M，圓（x-2）²+y²=的圓心為N，一動圓與這兩圓都外切．
（1）求動圓圓心P的軌跡方程；
（2）若過點N的直線l與（1）中所求軌跡有兩交點A、B，求的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設動圓P的半徑為r，
則|PM|=，
相減得|PM|-|PN|=2
由雙曲線定義知，點P的軌跡是以M、N為焦點，焦距為4，實軸長為2的雙曲線的右支，
其雙曲線方程為
（2）當直線l的斜率存在時，設為k，則

設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由，，=4+2（x₁+x₂）+x₁x₂+k²（x₁-2）（x₂-2）=
當直線的斜率不存在時，x₁=x₂=2?y₁=3，y₂=-3
所以，，
綜合得
分析：（1）利用兩個圓相外切的充要條件列出兩個幾何條件，令兩個式子相減；再利用雙曲線的定義判斷出動圓圓心P的軌跡是雙曲線，寫出雙曲線的方程．
（2）分直線的斜率存在于不存在，設出直線的方程，將直線方程與雙曲線方程聯立，利用韋達定理列出關于k的不等式，求出k的范圍，利用向量的數量積公式將用k表示，求出k的范圍．
點評：求動點的軌跡方程常用的方法有：直接法、定義法、相關點法、消參法、交軌法等；解決直線與圓相交的問題常利用幾何法特別時，將直線與圓的方程聯立，利用韋達定理解．