Question

已知函數f（x）=

kx+1，x≤0 log2x，x＞0

下列是關于函數y=f[f（x）]+1的零點個數的4個判斷：
①當k＞0時，有3個零點；
②當k＜0時，有2個零點；
③當k＞0時，有4個零點；
④當k＜0時，有1個零點．
則正確的判斷是（　　）

A．①④

B．②③

C．①②

D．③④

Answer 1

由y=f[f（x）]+1=0得f[f（x）]+1=0，即f[f（x）]=-1，
設f（x）=t，則方程f[f（x）]=-1等價為f（t）=-1，
①若k＞0，作出函數f（x）的圖象如圖：
∵f（t）=-1，
∴此時方程f（t）=-1有兩個根其中t₂＜0，0＜t₁＜1，
由f（x）=t₂，＜0，知此時x有兩解，
由f（x）=t₁∈（0，1）知此時x有兩解，
此時共有4個解，即函數y=f[f（x）]+1有4個零點．
②若k＜0，作出函數f（x）的圖象如圖：
∵f（t）=-1，
∴此時方程f（t）=-1有一個根t₁，其中0＜t₁＜1，
由f（x）=t₁∈（0，1）知此時x只有1個解，
即函數y=f[f（x）]+1有1個零點．
綜上：只有③④正確，
故選：D．