Question

點P為圓O：x²+y²=a²（a＞0）上一動點，PD⊥x軸于D點，記線段PD的中點M的運動軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程；
（II）若動直線l與曲線C交于A、B兩點，當△OAB（O是坐標原點）面積取得最大值，且最大值為1時，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）確定P，M坐標之間的關系，利用P是圓上的動點，代入x²+y²=a²，即可得曲線C的方程；
（Ⅱ）分類討論：①當l斜率不存在時，可得S_△OAB最大值為；②當l斜率存在時，表示出三角形的面積，利用基本不等式，可得S_△OAB的最大值為，由已知得，從而可求a的值．
解答：解：（Ⅰ）設P（x，y），M（x，y），由，得，…（2分）
代入x²+y²=a²，得 ．…（4分）
（Ⅱ）①當l斜率不存在時，設x=t，由已知得-a＜t＜a，
由，得
所以，
當且僅當t²=a²-t²，即時，等號成立．
此時S_△OAB最大值為．…（5分）
②當l斜率存在時，設其方程為y=kx+m，
由，消去y整理得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-a²=0，
△=（8km）²-4（4k²+1）（4m²-a²）=4[4k²+a²-4m²]
由△＞0，得4k²a²+a²-4m²＞0①
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則  ②…（7分）
③
原點到直線l距離為 ，④…（9分）
由面積公式及③④得…（11分）
綜合①②，S_△OAB的最大值為，由已知得，所以 a=2．…（12分）
點評：本題考查代入法求軌跡方程，考查三角形面積的計算，考查分類討論的數(shù)學思想，考查基本不等式的運用，正確表示三角形的面積是關鍵．