Question

函數f（x）=sin（2x+φ），（|φ|＜

π

2

）向左平移

π

6

個單位后是奇函數．
（1）求φ
（2）函數f（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，結合正弦函數的對稱性求得φ的值．
（2）由（1）可得 f(x)=sin(2x-

π

3

)，根據0≤x≤

π

2

，利用正弦函數的定義域和值域，求得函數f（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

解答： 解：（1）函數f(x)=sin(2x+φ)，(|φ|＜

π

2

)向左平移

π

6

個單位后，
得到函數為f(x+

π

6

)=sin[2(x+

π

6

)+φ]=sin(2x+

π

3

+φ)，
因為此時函數為奇函數，所以

π

3

+φ=kπ，k∈Z，所以φ=-

π

3

+kπ，k∈Z．
因為|φ|＜

π

2

，所以當k=0時，φ=-

π

3

． 
（2）由（1）可得 f(x)=sin(2x-

π

3

)，當0≤x≤

π

2

，所以-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
即當2x-

π

3

=-

π

3

時，函數f(x)=sin(2x-

π

3

)有最小值為sin(-

π

3

)=-

3

2

，
當2x-

π

3

=

π

2

時，函數有最大值sin(

π

2

)=1．

點評：本題主要考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，正弦函數的定義域和值域，屬于基礎題．