Question

命題A：一元二次方程ax²+bx+c=0有一個正根和一個負根；命題B：ac＜0，那么B是A的（　　）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：根據韋達定理，我們先判斷出命題A：一元二次方程ax²+bx+c=0有一個正根和一個負根⇒命題B：ac＜0，為真命題，即B是A的必要條件；再由一元二次方程根的個數與△符號的關系，及韋達定理，判斷出命題B：ac＜0⇒命題A：一元二次方程ax²+bx+c=0有一個正根和一個負根也為真命題，進而得到答案．

解答：解：若一元二次方程ax²+bx+c=0有一個正根和一個負根
由韋達定理可得，此時x₁•x₂=

c

a

＜0，
此時ac＜0
即B是A的必要條件；
若ac＜0，
此時一元二次方程ax²+bx+c=0的△＞0，此時方程有兩個不等的根
由韋達定理可得此時x₁•x₂=

c

a

＜0
即方程兩個根的符號相反
即一元二次方程ax²+bx+c=0有一個正根和一個負根
故B是A的充分條件
故B是A的充要條件
故選C

點評：本題考查的知識點是必要條件、充分條件與充要條件的判斷，一元二次方程根的個數與△符號的關系，及韋達定理，其中分別判斷命題A⇒命題B與命題B⇒命題A的真假，是解答本題的關鍵．