Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）若函數有兩個極值點，且.

①求的取值范圍；

②求證：.

Answer 1

【答案】(1) (2) ①，②見解析

【解析】分析：（1）求出，它是切線的斜率，利用點斜式寫出切線方程.

（2）根據得有兩個極值點等價于在有兩個不同的根，利用判斷式大于零得到的取值范圍.要證明，需證明，但，故只要證明 在上恒成立，可令 ，通過導數討論其單調性即可.

詳解：（1）當時，，則，

∴，

∴在點處的切線方程為，即；

（2）①函數的定義域為，且，

因為函數有兩個極值點，所以有兩個不同的正實根，

∴有兩個不同的正實根，

∴，

即的取值范圍是.

②由題意，的兩根為，由韋達定理，，

其中，

于是 ，

令，則在上恒成立，

即函數在上為減函數，

又因為，所以，即.