Question

設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005248579303.png" style="vertical-align:middle;" />，對任意的實(shí)數(shù)都有；當(dāng)時，，且.（1）判斷并證明在上的單調(diào)性；
（2）若數(shù)列滿足：，且，證明：對任意的，

Answer 1

（1）單調(diào)遞增（2），再利用.

試題分析：（1）在上單調(diào)遞增，證明如下： 設(shè)任意，且，∵，∴，∴
即，∴在上單調(diào)遞增.  
（2）在中，令，得.令，
得，∴.令，得，即

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：   
①當(dāng)時，，不等式成立；
②假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，即，則∵在上單調(diào)遞增，
∴，∴，即當(dāng)時不等式也成立.
綜上①②，由數(shù)學(xué)歸納法原理可知對任意的，
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．