Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，，，為棱的中點，為棱的動點.

（1）求證：平面；

（2）若二面角的余弦值為，求點的位置.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）點為線段的中點.

【解析】

（1）分析出是等邊三角形，由三線合一得出，由，由，由底面，可得出，然后利用直線與平面垂直的判定定理可得出平面；

（2）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設，計算出平面和平面的法向量、，由計算出實數的值，即可確定點的位置.

（1）如下圖所示，由于四邊形是菱形，則，

又，是等邊三角形，為的中點，，

，.

底面，平面，，

，、平面，平面；

（2）由（1）知，，且底面，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，

則點、、、，設，

則，，，

設平面的一個法向量為，

由，即，得，

取，則，，則平面的一個法向量為.

同理可得平面的一個法向量為，

由題意可得，解得.

因此，當點為線段的中點時，二面角的余弦值為.