Question

為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的房頂和外墻需要建造隔熱層，某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元，該建筑物每年的能源消耗費用為C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關系：C（x）=（0x10），若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元。設f（x）為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和。
(1)求k的值及f(x)的表達式；
(2)隔熱層修建多厚時，總費用f（x）達到最小，并求最小值。

Answer 1

(1)f(x)="20C(x)+" C₁(x)=
(2)當隔熱層修建5cm厚時，總費用達到最小值70萬元。

解析試題分析：(1)設隔熱層厚度為xcm，由題設，每年能源消耗費用為C(x)=
再由C(0)=8,得k=40,因此C(x)=而建造費用為C₁(x)=6x.
最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為
f(x)="20C(x)+" C₁(x)=
(2)令即
解得x=5,x=(舍去)
當0<x<5時，f’(x)<0,當5<x<10時f’(x)>0,故x=5是f(x)的最小值點,對應的最小值為

當隔熱層修建5cm厚時，總費用達到最小值70萬元。
考點：函數模型，應用導數研究函數的最值。
點評：中檔題，作為函數應用問題，首先應注意“審清題意，設出變量，列出函數關系，確定函數最值”。在研究函數最值時，往往利用均值定理或導數。應用均值定理時，要注意“已知，二定，三相等”，缺一不可。本題利用導數，在指定自變量范圍內，只有一個極值點，因此，可以斷定其即為最值點。