Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx在x=1處有極值-2．
（1）求常數a、b；
（2）求曲線y=f（x）與x軸所包圍的面積．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用函數f（x）=x³+ax²+bx在x=1處有極值-2，建立方程組，即可求得a，b的值；
（2）確定函數的積分區間，被積函數，再求出原函數，即可求得結論．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，由f（1）=-2及f′（1）=0得：

1+a+b=-2 3+2a+b=0

，解得

a=0 b=-3

；
（2）由（1）知f（x）=x³-3x=x（x+

3

）（x-

3

） 
∴當x＜-

3

或0＜x＜

3

時，f（x）＜0，當-

3

＜x＜0或x＞

3

時，f（x）＞0，
∴曲線y=f（x）與x軸所包圍的面積：S

=∫

0 - 3

(x3-3x)dx+

∫

3 0

[-(x3-3x)dx=(

1

4

x4-

3

2

x2)

|

0 - 3

-(

1

4

x4-

3

2

x2)

|

3 0

=

9

2

．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值，考查利用定積分求面積，正確求導是關鍵．