Question

如圖，有三個生活小區（均可看成點）分別位于A、B、C三點處，AB=AC，A到線段BC的距離AO=40，∠ABO=

2π

7

（參考數據：tan

2π

7

≈

2 3

3

）．今計劃建一個生活垃圾中轉站P，為方便運輸，P準備建在線段AO（不含端點）上．
（I）設PO=x（0＜x＜40），試將P到三個小區距離的最遠者S表示為x的函數，并求S的最小值；
（II）設∠PBO=a（0＜α＜

2π

7

），試將P到三個小區的距離之和y表示為a的函數，并確定當a取何值時，可使y最小？

Answer 1

分析：（1）利用直角三角形的邊角關系及其勾股定理、函數的單調性即可得出；
（2）根據條件列出其表達式，利用導數得出其單調性，進而即可得出最小值．

解答：解：（1）在Rt△AOB中，∵AO=40，∠ABO=

2π

7

，∴BO=

AO

tan 2π 7

=

40

2 3 3

=20

3

，
∴PA=40-x，PB=PC=

1200+x2

，
①若PA≥PB，即40-x≥

1200+x2

，即0＜x≤5時，S=40-x；
②若PA＜PB，即40-x＜

1200+x2

，即5＜x＜40時，S=

1200+x2

．
從而S=

40-x，當0＜x≤5時 1200+x2 ，當5＜x＜40時

．
當0＜x≤5時，S=40-x單調遞減，∴S_min=35；
當5＜x＜40時，S=

1200+x2

，是增函數，∴S＞S（5）=35．
綜上可知：當x=5時，S取得最小值為35．
（2）在Rt△BOP中，BP=

BO

cosα

=

20 3

cosα

，PO=BOtanα=20

3

tanα，
∴y=2BP+（AO-PO）=40+2BP-PO=

40 3

cosα

+40-20

3

tanα=40+20

3

×

2-sinα

cosα

∵y′=20

3

×

2sinα-1

cos2α

，令y^′=0，即sinα=

1

2

，從而α=

π

6

，
當0＜a＜

π

6

時，y^′＜0；當

π

6

＜a＜

2π

7

時，y^′＞0．
當α=

π

6

時，可使y最小．

點評：數列掌握勾股定理、利用導數研究函數的單調性是解題的關鍵．