Question

若C₂₃³ⁿ⁺¹=C₂₃ⁿ⁺⁶（n∈N^*）且（3-x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，則a₀-a₁+a₂-…+（-1）ⁿa_n=

256

．

Answer 1

分析：先利用二項式系數的性質求得n=4，再令x=-1可得 a₀-a₁+a₂-…+（-1）ⁿa_n的值．

解答：解：由C₂₃³ⁿ⁺¹=C₂₃ⁿ⁺⁶（n∈N^*）可得 3n+1+（n+6）=23，或 3n+1=n+6，解得 n=4 或n=

5

2

（舍去）．
故（3-x）⁴=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₄ x⁴，令x=-1可得 a₀-a₁+a₂-…+（-1）ⁿa_n=4⁴=256，
故答案為 256．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，注意根據題意，分析所給代數式的特點，通過給二項式的x賦值，求展開式的系數和，可以簡便的求出答案，屬于中檔題．