Question

公差d≠0的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a1=2+

2

，S3=12+3

2

．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n及其前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）記bn=an-

2

，若自然數(shù)η₁，η₂，…，η_k，…滿足1≤η₁＜η₂＜…＜η_k＜…，并且bη1，bη2，…，bη_，…成等比數(shù)列，其中η₁=1，η₂=3，求η_k（用k表示）；
（Ⅲ）記cn=

Sn

n

，試問：在數(shù)列{c_n}中是否存在三項(xiàng)c_r，c_s，c_t（r＜s＜t，r，s，t∈N^*）恰好成等比數(shù)列？若存在，求出此三項(xiàng)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a(bǔ)₁代入S₃，求得d，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式求得a_n及其前n項(xiàng)和S_n．
（Ⅱ）把（1）中求得的a_n代入bn=an-

2

求得b_n，進(jìn)而求得

b3

b1

，即數(shù)列bη1，bη2，，bη_，的公比，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得bηk，進(jìn)而根據(jù)bηk=2ηk求得η_k．
（Ⅲ）根據(jù)（1）中求得的S_n求得c_n，假設(shè)存在三項(xiàng)c_r，c_s，c_t成等比數(shù)列，則c_s²=c_r•c_t，把c_n代入整理得(2s-r-t)

2

=rt+r+t-s2-2s進(jìn)而看當(dāng)2s-r-t≠0時(shí)看

rt+r+t-s2-2s

2s-r-t

是否有可能相等，當(dāng)2s-r-t=0時(shí)，r和t的關(guān)系，進(jìn)而判斷假設(shè)是否成立．

解答：解：（Ⅰ）∵a1=2+

2

，S3=3a1+3d=12+3

2

，∴d=2
所以an=2n+

2

，Sn=n2+(

2

+1)n
（Ⅱ）由題意，b_n=2n，首項(xiàng)b₁=2，又?jǐn)?shù)列bη1，bη2，，bη_，
的公比q=

b3

b1

=3
∴bηk=2•3k-1，又bηk=2ηk，∴η_k=3^k-1
（Ⅲ）易知cn=n+

2

+1，假設(shè)存在三項(xiàng)c_r，c_s，c_t成等比數(shù)列，則c_s²=c_r•c_t，
即[s+(

2

+1)]2=[r+(

2

+1)][t+(

2

+1)]，
整理得(2s-r-t)

2

=rt+r+t-s2-2s
①當(dāng)2s-r-t≠0時(shí)，

2

=

rt+r+t-s2-2s

2s-r-t

，
∵r，s，t∈N^*，∴

rt+r+t-s2-2s

2s-r-t

是
有理數(shù)，這與

2

為無理數(shù)矛盾
②當(dāng)2s-r-t=0時(shí)，則rt+r+t-s²-2s=0，從而

s2=rt 2s-r-t=0

，
解得r=t，這與r＜t矛盾．
綜上所述，不存在滿足題意的三項(xiàng)c_r，c_s，c_t

點(diǎn)評：本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)．考查了學(xué)生綜合分析問題和運(yùn)算的能力．