Question

選修4-2：矩陣與變換：
已知矩陣A=

3 0 1 1

．
（1）求矩陣A的特征值和特征向量；
（2）求A的逆矩陣A^-1．

Answer 1

分析：（1）先根據特征值的定義列出特征多項式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應的特征向量．
（2）直接利用逆矩陣的公式A^-1=

d ad-bc -b ad-bc -c ad-bc a ad-bc

進行求解即可．

解答：解：（1）矩陣M的特征多項式為f（λ）=

.

λ-3 0 -1 λ-1

.

=λ2-4λ+3，（2分）
令f（λ）=0，解得λ₁=1，λ₂=3，（4分）
將λ₁=1代入二元一次方程組

(λ-3)•x+0•y=0 -x+(λ-1)•y=0

解得x=0，（6分）
所以矩陣M屬于特征值1的一個特征向量為

0 1

；（8分）
同理，矩陣M屬于特征值2的一個特征向量為

2 1

（10分）
（2）∵A=

3 0 1 1

．
∴A^-1=

d ad-bc -b ad-bc -c ad-bc a ad-bc

=

1 3 0 - 1 3 1

點評：本題主要考查來了矩陣特征值與特征向量的計算等基礎知識，以及逆矩陣的求解，同時考查了運算求解的能力，屬于基礎題．