Question

本題設有（1）、（2）、（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分
（1）選修4-2：矩陣與變換
變換T是將平面上每個點M（x，y）的橫坐標乘2，縱坐標乘4，變到點M′（2x，4y）．
（Ⅰ）求變換T的矩陣；
（Ⅱ）圓C：x²+y²=1在變換T的作用下變成了什么圖形？
（2）選修4-4：坐標系與參數方程
已知極點與原點重合，極軸與x軸的正半軸重合．若曲線C₁的極坐標方程為：5ρ²-3ρ²cos2θ-8=0，直線?的參數方程為：

x=1- 3 t y=t

（t為參數）．
（Ⅰ）求曲線C₁的直角坐標方程；
（Ⅱ）直線?上有一定點P（1，0），曲線C₁與?交于M，N兩點，求|PM|．|PN|的值．
（3）選修4-5：不等式選講
已知a，b，c為實數，且a+b+c+2-2m=0，a²+

1

4

b2+

1

9

c2+m-1=0．
（Ⅰ）求證：a²+

1

4

b2+

1

9

c2≥

(a+b+c)2

14

；
（Ⅱ）求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）（Ⅰ）由題意可得T：

x y

→

x′ y′

=

2x 4y

=

2 0

，

0 4

x y

，由此得到變換T的矩陣．
（Ⅱ）由 x′=2x，y′=4y，代入方程 x²+y²=1，得：

1

4

x′2+

1

16

y′²=1，由此得出結論．
（2）（Ⅰ）在曲線C₁的極坐標方程中，把極坐標和直角坐標的互化公式代入，化簡整理得到曲線C₁的直角坐標方程．
（Ⅱ）把直線的參數方程代入到曲線C₁的直角坐標方程，得7t²-2

3

t-3=0，t₁t₂=-

3

7

，由t的幾何意義求得
|PM|•|PN|的值．
（3）（Ⅰ）由柯西不等式得 [a2+(

1

2

b)2+(

1

3

c)2] • [12+22+32]≥(a+b+c)2，兩邊同時除以14，即可證得
結論．
（Ⅱ）由已知得 14（1-m）≥（2m-2）²，解一元二次不等式求得實數m的取值范圍．再由
 a²+

1

4

b2+

1

9

c2=1-m≥0，可得m≤1．把這兩個實數m的取值范圍取交集，即得所求．

解答：（1）解：（Ⅰ）由已知得T：

x y

→

x′ y′

=

2x 4y

=

2 0

，

0 4

x y

，
∴變換T的矩陣是

2 0

，

0 4

…（3分）
（Ⅱ）由 x′=2x，y′=4y，得：x=

1

2

x′，y=

1

4

y′，…（4分）
代入方程 x²+y²=1，得：

1

4

x′2+

1

16

y′²=1． …（6分）
∴圓C：x²+y²=1在變化T的作用下變成了橢圓

x2

4

+

y2

16

=1…（7分）
（2）解：（Ⅰ）由5ρ²-3ρ²cos2θ-8=0得，5ρ²-3ρ²（cos²θ-sin²θ）-8=0，
即5ρ²-3ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ-8=0，從而5（x²+y²）-3x²+3y²-8=0，
整理得

x2

4

+y2=1．…（3分）
（Ⅱ）把直線的參數方程代入到曲線C₁的直角坐標方程，得7t²-2

3

t-3=0，t₁t₂=-

3

7

．
由t的幾何意義知|PM|．|PN|=|t₁•t₂|=

3

7

．…（7分）
（3）解：（Ⅰ）由柯西不等式得 [a2+(

1

2

b)2+(

1

3

c)2] • [12+22+32]≥(a+b+c)2，…（2分）
即(a2+

1

4

b2+

1

9

c2)×14≥(a+b+c)2，∴a²+

1

4

b2+

1

9

c2≥

(a+b+c)2

14

． …（4分）
（Ⅱ）由已知得a+b+c=2m-2，a²+

1

4

b2+

1

9

c2=1-m，
∴14（1-m）≥（2m-2）²，即  2m²+3m-5≤0，∴-

5

2

≤m≤1．…（6分）
又∵a²+

1

4

b2+

1

9

c2=1-m≥0，∴m≤1，∴-

5

2

≤m≤1．…（7分）

點評：本題主要考查 幾種矩陣運算、直線的參數方程、柯西不等式的應用，屬于基礎題．