Question

設函數f(x)=

2x+1

x2+2

．
（Ⅰ）求f（x）的單調區間和極值；
（Ⅱ）若對一切x∈R，-3≤af（x）+b≤3，求a-b的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先確定函數的定義域然后求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調區間，根據單調性的變換情況求出極值；
（Ⅱ）先求出f（x）的取值范圍，求出f（x）的最值，因此對一切x∈R，-3≤af（x）+b≤3的充要條件是

-3≤- 1 2 a+b≤3 -3≤a+b≤3

，得到約束條件，由線性規劃得a-b的最大值即可．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

-2(x+2)(x-1)

(x2+2)2

，
當x∈（-2，1）時，f′（x）＞0；
當x∈（-∞，-2）∪（1，+∞）時，f′（x）＞0．
故f（x）在（-2，1）單調增加，在（-∞，-2），（1，+∞）單調減少．
f（x）的極小值f(-2)=-

1

2

，極大值f（1）=1．
（Ⅱ）由(f(x)+

1

2

)(f(x)-1)=

-(x+2)2(x-1)2

2(x2+2)2

知(f(x)+

1

2

)(f(x)-1)≤0，
即-

1

2

≤f(x)≤1．
由此及（Ⅰ）知f（x）的最大值為1，最小值為-

1

2

．
因此對一切x∈R，-3≤af（x）+b≤3的充要條件是

-3≤- 1 2 a+b≤3 -3≤a+b≤3

即a，b滿足約束條件

a+b≥-3 a+b≤3 - 1 2 a+b≥-3 - 1 2 a+b≤3.

，
由線性規劃得，a-b的最大值為5．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，以及利用導數研究函數的極值和簡單線性規劃等有關知識，屬于基礎題．