Question

設函數
(Ⅰ) 求證：為奇函數的充要條件是；
(Ⅱ) 設常數，且對任意恒成立，求實數a的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）同解析；（Ⅱ）當的取值范圍是；當的取值范圍是

（I）充分性：若
，對一切x∈R恒成立，
是奇函數
必要性：若是奇函數，則對一切x∈R，恒成立，即

令 
再令 
（II）取任意實數不等式恒成立，
故考慮

對（1）式，由b < 0時，在為增函數，

                      （3）
對（2）式，當
當
                    （4）
由（3）、（4），要使a存在，必須有
∴當 
當為減函數，（證明略）

綜上所述，當的取值范圍是；
當的取值范圍是
解法二：
由于b是負數，故
（1），
則
其中（1），（3）顯然成立，由（2），得（*）
（2），
①
綜合（*），得值不存在
②
綜合（*），得 
③
綜合（*），得不存在
綜上，得