Question

【題目】設函數f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.

(1)若f(x)在x＝3處取得極值，求常數a的值；

(2)若f(x)在(－∞，0)上為增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） ；（2） .

【解析】

（1），由在處取得扱值，可得 ,解得即可；（2）因為函數在上為增函數，令得到函數的極值點,討論的取值范圍，分別利用導數研究函數的增減性，可得到函數為增函數時的范圍.

(1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－a)(x－1)．

因為f(x)在x＝3處取得極值，

所以f′(3)＝6(3－a)(3－1)＝0，解得a＝3.

經檢驗知，當a＝3時，x＝3為f(x)的極值點．

(2)令f′(x)＝6(x－a)(x－1)＝0，解得x1＝a，x2＝1.

當a＜1時，若x∈(－∞，a)∪(1，＋∞)，

則f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，a)和(1，＋∞)上為增函數，

故當0≤a＜1時，f(x)在(－∞，0)上為增函數；

當a≥1時，若x∈(－∞，1)∪(a，＋∞)，

則f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，1)和(a，＋∞)上為增函數，

所以f(x)在(－∞，0)上為增函數．

綜上所述，當a∈[0，＋∞)時，f(x)在(－∞，0)上為增函數．