Question

如圖為一幾何體的展開圖，其中ABCD是邊長為6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，點S，D，A，Q及P，D，C，R共線，沿圖中虛線將它們折疊起來，使P，Q，R，S四點重合，則該幾何體的內切球的半徑為

6-3

2

．

Answer 1

分析：由展開圖還原回原圖形，得到原幾何體是有一條側棱垂直于底面，其余兩側面是直角三角形的四棱錐，且四棱錐底面是邊長為6的正方形，利用等積法可求四棱錐的內切球的半徑．

解答：解：把該幾何體沿圖中虛線將其折疊，使P，Q，R，S四點重合，所得幾何體為下圖中的四棱錐，
且底面四邊形ABCD為邊長是6的正方形，側棱PD⊥平面ABCD，PD=6
又在折疊前后∠QAB與∠RCB的大小不變，所以四棱錐中∠PAB與∠PCB仍為直角．
在直角三角形PDA和直角三角形PDC中，由PD=DA=DC=6，得PA=PC=6

2

，
所以S△PDA=S△PDC=

1

2

×6×6=18，
S△PAB=S△PCB=

1

2

×6×6

2

=18

2

，
S_ABCD=6×6=36．
利用等積法，設四棱錐內切球的半徑為r，
則

1

3

SABCD•PD=

1

3

(S△PAD+SPCD+S△PAB+S△PCB)•r+

1

3

SABCD•r．
即36×6=(18×2+18

2

×2+36)r．
解得：r=6-3

2

．
故答案為6-3

2

．

點評：本題考查了棱錐的結構特征，考查了利用等積法求幾何體內切球的半徑，解答此題的關鍵是把展開圖還原回原幾何體，需要注意的是平面圖形折疊前后的變量與不變量，是基礎題．