Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，F(

2

，0)為其右焦點，過F垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l：y=kx+m（km≠0）與橢圓C交于A、B兩點，若線段AB中點在直線x+2y=0上，求△FAB的面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用F(

2

，0)為其右焦點，過F垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2，建立方程組，求得幾何量，即可求得橢圓方程；
（2）直線l：y=kx+m（km≠0）與橢圓聯立，利用線段AB中點在直線x+2y=0上求得k的值，求出|AB|，及點F(

2

，0)到直線AB的距離d=

| 2 +m|

2

，表示出三角形的面積，利用求導數的方法，即可確定△FAB的面積的最大值．

解答：解：（1）由題意

c= 2 b2 a =1 a2=b2+c2

，解得

a=2 b= 2

，∴所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

2

=1．   …（4分）
（2）直線l：y=kx+m（km≠0）與橢圓聯立，消去y得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，…（5分）
△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-4）=8（6-m²）＞0，∴|m|＜

6

設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）P（x₀，y₀），由韋達定理得x0=

x1+x2

2

=

-2km

1+2k2

，y0=kx0+m=

m

1+2k2

．
由點P在直線x+2y=0上，得k=1．                            …（7分）
所以|AB|=

2

×

2 2 × 6-m2

3

=

4 6-m2

3

．
又點F(

2

，0)到直線AB的距離d=

| 2 +m|

2

．
∴△FAB的面積為

1

2

|AB|d=

1

2

×

4 6-m2

3

×

| 2 +m|

2

=

2

3

|

2

+m|

6-m2

（|m|＜

6

，m≠0）．…（10分）
設u（m）=（6-m²）（m+

2

）²（|m|＜

6

，m≠0），則令u′（m）=-2（2m+3

2

）（m+

2

）（m-

2

）=0，可得m=-

3 2

2

或m=-

2

或m=

2

；
當-

6

＜m＜-

3 2

2

時，u′（m）＞0；當-

3 2

2

＜m＜-

2

時，u′（m）＜0；
當-

2

＜m＜

2

時，u′（m）＞0；當

2

＜m＜

6

時，u′（m）＜0
又u（-

3 2

2

）=

3

4

，u(

2

)=32
所以當m=

2

時，△FAB的面積取最大值

8

3

…（12分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，考查利用導數的方法求函數的最值，屬于中檔題．