已知橢圓C的左、右焦點分別為
，橢圓的離心率為
，且橢圓經過點
．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）線段
是橢圓過點
的弦，且
，求
內切圓面積最大時實數
的值.
（1）
；（2）
，
.
解析試題分析：本題主要考查直線、橢圓的標準方程及其性質，考查思維能力，運算能力.第一問，利用離心率
和橢圓過定點
求橢圓的標準方程；第二問，分兩種情況：當直線與
軸垂直時，比較直觀，可求得
，而當直線不與軸垂直時，設出直線的方程，讓它與橢圓聯立，消去參數，得到兩根之和、兩根之積，代入到
中，通過配方法求面積的最大值，利用內切圓半徑
列出
的面積，解出的范圍，得到
，此時直線與軸垂直，所以.
試題解析：（1）
，又
4分
（2）顯然直線不與軸重合
當直線與軸垂直時，||=3，
，
； 5分
當直線不與軸垂直時，設直線：
代入橢圓C的標準方程，
整理，得
7分
令
所以
由上，得
所以當直線與軸垂直時
最大，且最大面積為3 10分
設內切圓半徑，則
即，此時直線與軸垂直，內切圓面積最大
所以，
12分
考點：1.橢圓的標準方程；2.直線的標準方程；3.韋達定理；4.三角形面積公式；5.配方法求最值.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系中，已知點
及直線
，曲線
是滿足下列兩個條件的動點
的軌跡：①
其中
是
到直線
的距離；②
(1) 求曲線的方程;
(2) 若存在直線
與曲線、橢圓
均相切于同一點，求橢圓
離心率
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的一個焦點為
，過點
且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦長為
；
為橢圓上的四個點。
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)若
，
且
，求四邊形
的面積的最大值和最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知
、
為橢圓
的左、右焦點，且點
在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）過
的直線
交橢圓于
兩點，則
的內切圓的面積是否存在最大值？
若存在其最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的兩個焦點為F1，F2，橢圓上一點M
滿足
.
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線L：y=
與橢圓恒有不同交點A，B，且
（O為坐標原點），求實數k的范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的中心在原點，焦點在
軸上，長軸長為
，且點
在橢圓上．
（1）求橢圓的方程；
（2）設
是橢圓長軸上的一個動點，過作方向向量
的直線
交橢圓于
、
兩點，求證：
為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的方程為
，雙曲線
的左、右焦點分別為的左、右頂點，而的左、右頂點分別是的左、右焦點，
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線
與橢圓及雙曲線都恒有兩個不同的交點，且
與的兩個交點A和B滿足
（其中0為原點），求k的取值范圍。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系xOy中，直線l與拋物線y2＝4x相交于不同的A、B兩點．
（1）如果直線l過拋物線的焦點，求
·
的值；
（2）如果·＝－4，證明直線l必過一定點，并求出該定點．
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，其準線方程為
，過準線與
軸的交點
做直線
交拋物線于
兩點.
為
中點，求直線
，當
時，求
的面積．