Question

【題目】設函數其中P，M是非空數集．記f(P）＝{y|y＝f(x)，x∈P}，f(M)＝{y|y＝f(x)，x∈M}．

（Ⅰ）若P＝[0，3]，M＝(﹣∞，﹣1)，求f(P)∪f(M)；

（Ⅱ）若P∩M＝，且f(x)是定義在R上的增函數，求集合P，M；

（Ⅲ）判斷命題“若P∪M≠R，則f(P)∪f(M)≠R”的真假，并加以證明．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）[0，+∞）；（Ⅱ）P＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），M＝{0}；（Ⅲ）真命題，證明見解析

【解析】

(Ⅰ)求出f (P)＝[0，3]，f (M)＝ (1，+∞)，由此能過求出f (P)∪f (M)．

(Ⅱ)由f (x)是定義在R上的增函數，且f (0)＝0，得到當x＜0時，f (x)＜0， (﹣∞，0)P． 同理可證 (0，+∞)P． 由此能求出P，M．

(Ⅲ)假設存在非空數集P，M，且P∪M≠R，但f (P)∪f (M)＝R．證明0∈P∪M．推導出f (﹣x0)＝﹣x0，且f (﹣x0)＝﹣ (﹣x0)＝x0，由此能證明命題“若P∪M≠R，則f (P)∪f (M)≠R”是真命題．

(Ⅰ)因為P＝[0，3]，M＝(﹣∞，﹣1)，

所以f(P)＝[0，3]，f(M)＝(1，+∞)，

所以f(P)∪f (M)＝[0，+∞)．

(Ⅱ)因為f (x)是定義在R上的增函數，且f (0)＝0，

所以當x＜0時，f (x)＜0，

所以(﹣∞，0)P． 同理可證(0，+∞)P．

因為P∩M＝，

所以P＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，M＝{0}．

(Ⅲ)該命題為真命題．證明如下：

假設存在非空數集P，M，且P∪M≠R，但f (P)∪f (M)＝R．

首先證明0∈P∪M．否則，若0P∪M，則0P，且0M，

則0f (P)，且0f (M)，

即0f (P)∪f (M)，這與f (P)∪f (M)＝R矛盾．

若x0P∪M，且x0≠0，則x0P，且x0M，

所以x0f (P)，且﹣x0f (M)．

因為f (P)∪f (M)＝R，

所以﹣x0∈f (P)，且x0∈f (M)．

所以﹣x0∈P，且﹣x0∈M．

所以f (-x0)＝﹣x0，且f (-x0)＝﹣(﹣x0)＝x0，

根據函數的定義，必有﹣x0＝x0，即x0＝0，這與x0≠0矛盾．

綜上，該命題為真命題．