Question

已知函數在上單調遞減，且滿足， (Ⅰ) 求的取值范圍；（Ⅱ）設，求在上的最大值和最小值

 

Answer 1

【答案】

：（Ⅰ）

（Ⅱ）（i）當時，在上取得最小值  ，在上取得最大值

當 時，在 取得最大值 ，在 取得最小值

當 時，  在  取得最小值 在 取得最大值 

當 時，在取得最小值

當  時，  在取得最小值

【解析】：（Ⅰ）由，得

則 ，依題意須對于任意  ，有 當時，因為二次函數  的圖像開口向上，而 ，所以須  ，即 

當 時，對任意 有 ，符合條件；

當時，對于任意 ，，符合條件；

當 時，因， 不符合條件，故的取值范圍為

（Ⅱ）因 

（i）當時，  ，在上取得最小值  ，在上取得最大值

（ii）當 時，對于任意 有 ，在 取得最大值 ，在 取得最小值

（iii）當時，由  得

①  若 ，即 時，  在上單調遞增，  在  取得最小值 在 取得最大值 

②  若 ，即 時， 在 取得最大值   ，在  或  取得最小值，而，

則當 時，在取得最小值

當  時，  在取得最小值