Question

【題目】已知函數(shù)

（1）求函數(shù)的最大值；

（2）設(shè) 其中，證明: ＜1．

Answer 1

【答案】（1）0；（2）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo),從而求出增區(qū)間為,減區(qū)間為,故；（2）由（1）知,所以當(dāng)時(shí), 成立，當(dāng)時(shí), ,令,所以,所以成立.

試題解析：

（1）f(x)＝－xex．

當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減．

所以f(x)的最大值為f(0)＝0．

（2）由（Ⅰ）知，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＜0，g(x)＜0＜1．

當(dāng)－1＜x＜0時(shí)，g(x)＜1等價(jià)于設(shè)f(x)＞x．

設(shè)h(x)＝f(x)－x，則h(x)＝－xex－1．

當(dāng)x∈(－1，0)時(shí)，0＜－x＜1，0＜ex＜1，則0＜－xex＜1，

從而當(dāng)x∈(－1，0)時(shí)，h(x)＜0，h(x)在(－1，0]單調(diào)遞減．

當(dāng)－1＜x＜0時(shí)，h(x)＞h(0)＝0，即g(x)＜1．

綜上，總有g(x)＜1．