【題目】已知函數
，
．
當
時，
，求實數a的取值范圍；
當
時，曲線
和曲線
是否存在公共切線？并說明理由．
【答案】（1）
；（2）存在公共切線，理由詳見解析.
【解析】
(1)構造函數
，求出其最大值，解不等式即可得到實數
的取值范圍；
(2)假設存在這樣的直線
且直線
與曲線和曲線
分別相切與點
.分別求出兩條切線方程，根據斜率與縱截距建立方程組，減元后得到
，構造新函數研究單調性與極值即可.
解：
令
，則
.
若
，則
，若
，則
.
所以
在
上是增函數，在
上是減函數.
所以
是的極大值點，也是的最大值點，即
.
若
恒成立，則只需
，解得
.
所以實數的取值范圍是.
假設存在這樣的直線且與曲線和曲線分別相切與點.
由
，得
.
曲線在點
處的切線方程為
，即
.
同理可得，
曲線在點
處的切線方程為
，即
.
所以
則
，即
構造函數
存在直線與曲線和曲線相切,
等價于函數
在
上有零點
對于
.
當
時，
，
在上單調遞增.
當
時，因為
，所以
在
上是減函數.
又
，，所以存在
，使得
，即
.
且當
，時，當
時，
.
綜上，
在
上是增函數，在
上是減函數.
所以
是的極大值，也是最大值，且
.
又
，
，所以在
內和
內各有一個零點.
故假設成立，即曲線和曲線存在公共切線.
開心蛙狀元測試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，
平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點.
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；
（Ⅲ）棱PB上是否存在點F，使得CF∥平面PAE？說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】平面直角坐標系
中，橢圓
的離心率為
，焦點為
、
，直線
經過焦點，并與
相交于
、
兩點．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）在上是否存在
、
兩點，滿足
//
，
？若存在，求直線的方程；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設頂點在原點，焦點在
軸上的拋物線過點
，過
作拋物線的動弦
， 
，并設它們的斜率分別為
， 
.
(Ⅰ)求拋物線的方程；
(Ⅱ)若
，求證：直線
的斜率為定值，并求出其值；
（III）若
，求證：直線
恒過定點，并求出其坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某小學舉辦“父母養育我，我報父母恩”的活動，對六個年級（一年級到六年級的年級代碼分別為1，2…，6）的學生給父母洗腳的百分比y%進行了調查統計，繪制得到下面的散點圖．
（1）由散點圖看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關系，請用相關系數加以說明；
（2）建立y關于x的回歸方程，并據此預計該校學生升入中學的第一年（年級代碼為7）給父母洗腳的百分比．
附注：參考數據：
參考公式：相關系數
，若r＞0.95，則y與x的線性相關程度相當高，可用線性回歸模型擬合y與x的關系．回歸方程
中斜率與截距的最小二乘估計公式分別為
＝
，
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C1：
x2＝1（a＞1）與拋物線C2：x2＝4y有相同焦點F1．
（1）求橢圓C1的標準方程；
（2）已知直線l1過橢圓C1的另一焦點F2，且與拋物線C2相切于第一象限的點A，設平行l1的直線l交橢圓C1于B，C兩點，當△OBC面積最大時，求直線l的方程．
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