Question

已知向量

a

=（2cosωx，cos2ωx），

b

=（sinωx，1）（其中ω＞0），令f（x）=

a

• 

b

，且f（x）的最小正周期為π．
（1）求f(

π

4

)的值；
（2）寫出f(x)在[-

π

2

，

π

2

]上的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（1）把向量

a

=（2cosωx，cos2ωx），

b

=（sinωx，1）代入f（x）=

a

• 

b

，利用二倍角公式和兩角和的正弦函數化為：

2

sin(2ωx+

π

4

)，根據周期求出ω，然后求解f(

π

4

)的值；
（2）利用正弦函數的單調增區間求出函數f（x）的單調增區間，選擇適當的k值求出f(x)在[-

π

2

，

π

2

]上的單調遞增區間．

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

=2cosωxsinωx+cos2ωx
=sin2ωx+cos2ωx
=

2

sin(2ωx+

π

4

)．
∵f（x）的最小正周期為π，∴ω=1．
∴f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)．
∴f(

π

4

)=

2

sin(2×

π

4

+

π

4

)=1．（6分）

（2）∵f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)，
∴當-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ(k∈Z)，
即-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ（k∈Z）時，f（x）單調遞增，
∵x∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上的單調遞增區間為[-

3π

8

，

π

8

]．（13分）

點評：本題是基礎題，考查向量的數量積，二倍角和兩角和的正弦函數的化簡，三角函數的單調增區間的求法，考查計算能力，是�？碱}型．