Question

（本小題滿分13分）
已知橢圓 .與有相同的離心率,過點的直線與,依次交于A,C,D,B四點(如圖).當直線過的上頂點時, 直線的傾斜角為.

（1）求橢圓的方程;
（2）求證:;
（3）若,求直線的方程.

Answer 1

解:(1) .(2)見解析；(3)

本試題主要是考查了橢圓方程的求解，以及利用直線與橢圓的位置關系求解直線的方程，證明線段相等的綜合運用。
（1）利用橢圓的幾何性質表示得到a,b,c的關系式，從而得到橢圓的方程。
（2）設直線與橢圓方程聯系，借助于坐標的關系來證明相等即可。
（3）在第二問的基礎上，進一步得到關于直線斜率k的表達式，化簡得到直線的方程，
解:(1),因此橢圓的方程為.
(2)當直線垂直軸時,易求得
因此,
當直線不垂直軸時,設
由     ①,
由    ②,
設,則是方程①的解, 是方程②的解.,線段AB,CD的中點重合,
(3).由(2)知,,當直線垂直軸時,不合要求;
當直線不垂直軸時,設,由(2)知,
,,


,化簡可得:
  ,