Question

已知F₁、F₂是雙曲線的兩個焦點，若離心率等于的橢圓E與雙曲線C的焦點相同．
（1）求橢圓E的方程；
（2）如果動點P（m，n）滿足|PF₁|+|PF₂|=10，曲線M的方程為：．判斷直線l：mx+ny=1與曲線M的公共點的個數，并說明理由；當直線l與曲線M相交時，求直線l：mx+ny=1截曲線M所得弦長的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由雙曲線的方程即可得出焦點坐標，即可得出橢圓的焦點坐標公式，利用橢圓的標準方程及其性質即可得出方程；
（2）由動點P（m，n）滿足|PF₁|+|PF₂|=10，可知點P在橢圓E上，即可得出m與n的關系及其取值范圍．因為曲線M是圓心為（0，0），半徑為的圓，利用點到直線的距離公式可得：圓心（0，0）到直線l：mx+ny-1=0的距離，即可得出直線l：mx+ny=1與曲線M公共點的個數．設直線l：mx+ny=1截曲線M所得弦長t，利用在0≤m²≤25上單調性，即可得出t的最大值．
解答：解：（1）∵F₁、F₂是雙曲線的兩個焦點，∴
不妨設F₁（-4，0）、F₂（4，0）．
∵橢圓E與雙曲線C的焦點相同．
∴設橢圓E的方程為（a＞b＞0）
∵根據已知得，解得
∴橢圓E的方程為
（2）直線l：mx+ny=1與曲線M有兩個公共點．
理由是：
∵動點P（m，n）滿足|PF₁|+|PF₂|=10，∴P（m，n）是橢圓E上的點，
∴，∴，0≤m²≤25
∵曲線M是圓心為（0，0），半徑為的圓
圓心（0，0）到直線l：mx+ny-1=0的距離=
∴直線l：mx+ny=1與曲線M有兩個公共點．
設直線l：mx+ny=1截曲線M所得弦長t，在0≤m²≤25上遞增
∴當m²=25，m=±5，n=0，即時，t最大為．
點評：熟練掌握圓錐曲線的定義及其性質、直線與圓錐曲線的位置關系、點到直線的距離公式、弦長公式、函數的單調性等是解題的關鍵．