Question

函數f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，其中a為常數，且函數y=f（x）和y=g（x）的圖象在其與坐標軸的交點處的切線互相平行．
（1）求此平行線的距離；
（2）若存在x使不等式

x-m

f(x)

＞

x

成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用函數y=f（x）和y=g（x）的圖象在其與坐標軸的交點處的切線互相平行，確定a的值，從而可得切線方程，即可求得兩平行切線間的距離；
（2）問題等價于m＜x-

x

ex在x∈[0，+∞）有解，令h（x）=x-

x

ex，則m＜h_max（x），由此即可求得實數m的取值范圍；

解答：解：（1）求導數可得f'（x）=ae^x，g′（x）=

1

x

，
又可知y=f（x）的圖象與坐標軸的交點為（0，a），
y=g（x）的圖象與坐標軸的交點為（a，0），
∵函數y=f（x）和y=g（x）的圖象在其與坐標軸的交點處的切線互相平行，
∴f'（0）=g'（a），即a=

1

a

，又∵a＞0，∴a=1．∴f（x）=e^x，g（x）=lnx，
∴函數y=f（x）和y=g（x）的圖象在其坐標軸的交點處的切線方程分別為：x-y+1=0，x-y-1=0
∴由兩平行切線間的距離距離公式可得距離為

|1-(-1)|

12+(-1)2

=

2

．
（2）由

x-m

f(x)

＞

x

得

x-m

ex

＞

x

，故m＜x-

x

ex在x∈[0，+∞）有解，
令h（x）=x-

x

ex，則m＜h_max（x）．當x=0時，m＜0；
當x＞0時，∵h′（x）=1-（

1

2 x

ex+

x

ex）=1-（

1

2 x

+

x

）ex，
∵x＞0，∴

1

2 x

+

x

≥2

1 2 x • x

=

2

，當且僅當

1

2 x

=

x

，即x=

1

2

時取等號，
又ex＞1，∴（

1

2 x

+

x

）ex＞

2

，故h′（x）=1-（

1

2 x

+

x

）ex＜0，
故h（x）=x-

x

ex在區間[0，+∞）上單調遞減，故h（x）_max=h（0）=0，∴m＜0
綜合可得實數m的取值范圍為（-∞，0）．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，正確求導并等價轉化是解題的關鍵．