Question

函數f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，其中a為常數，且函數y=f（x）和y=g（x）的圖象在其與坐標軸的交點處的切線互相平行
（1）求函數y=g（x）的解析式；
（2）若關于x的不等式

x-m

g(x)

＞

x

恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）已知函數f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，對其進行求導，然后分別求出f（x）與g（x）與坐標軸的交點，根據f′（0）=g′（a），求出a值，從而求解；
（2）由題意g（x）≠0，可得x＞0，x≠1，分兩種情況進行求解①當x∈（1，+∞）時；②當x∈（0，1）時；利用導數的研究函數的單調性，從而求解；

解答：解：（1）∵函數f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，
∴f/(x)=aex，g/(x)=

1

x

∴y=f（x）的圖象與坐標軸的交點為（0，a），
y=g（x）的圖象與坐標軸的交點為（a，0）
由題意得f′（0）=g′（a），即a=

1

a

，
又∵a＞0，
∴a=1，
∴g（x）=lnx
（2）由題意g（x）≠0，
∴x＞0，x≠1
當x∈（1，+∞）時，

x-m

lnx

＞

x

?m＜x-

x

lnx
令φ(x)=x-

x

lnx，
∴φ/(x)=

2 x -lnx-2

2 x

令h（x）=2

x

-lnx-2，
∴h/(x)=

1

x

(1-

1

x

)
當x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0，
∴h（x）單調遞增．
∴h（x）＞h（1）=0
由m＜x-

x

lnx在x∈（1，+∞）上恒成立，得m≤φ（1）=1
當x∈（0，1）時，

x-m

lnx

＞

x

?m＞x-

x

lnx
可得φ/(x)=

h(x)

2 x

＞0，
∴φ（x）單調遞增．
由m＞x-

x

lnx=φ(x)在x∈（0，1）上恒成立，
得m≥φ（1）=1，
綜上，可知m=1；

點評：此題主要考查利用導數研究函數的單調性，以及函數的恒成立問題的轉化，是一道綜合性比較強的題，注意分類討論思想的應用，此題是一道中檔題；