Question

已知正項數列{a_n}的首項a₁=1，前n項和S_n滿足a_n=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=

1

Sn • Sn+3

，記數列{b_n}的前n項和為T_n，求證：T_n＜

11

18

．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由已知條件得當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

，從而

Sn

-

Sn-1

=1，由此得到

Sn

=n，從而求出a_n=2n-1．
（Ⅱ）bn=

1

Sn • Sn+3

=

1

n(n+3)

=

1

3

(

1

n

-

1

n+3

)，由此利用裂項求和法能證明T_n＜

11

18

．

解答： （Ⅰ）解：∵正項數列{a_n}的首項a₁=1，
前n項和S_n滿足a_n=

Sn

+

Sn-1

（n≥2），
∴當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

，
∴

Sn

-

Sn-1

=1，
∴數列{

Sn

}是首項為1，公差為1的等差數列，
∴

Sn

=n，
∴n≥2時，有a_n=

Sn

+

Sn-1

=n+（n-1）=2n-1，
n=1時，a₁=1適合，∴a_n=2n-1．…（7分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知

Sn

=n，
則bn=

1

Sn • Sn+3

=

1

n(n+3)

=

1

3

(

1

n

-

1

n+3

)，…（9分）
Tn=

1

S1 • S4

+

1

S2 • S5

+

1

S3 • S6

+…+

1

Sn • Sn+3

=

1

1•4

+

1

2•5

+

1

3•6

+…+

1

n(n+3)

=

1

3

[(1-

1

4

)+(

1

2

-

1

5

)+(

1

3

-

1

6

)+(

1

4

-

1

7

)…+(

1

n

-

1

n+3

)]
=

1

3

(1+

1

2

+

1

3

-

1

n+1

-

1

n+2

-

1

n+3

)＜

11

18

．
∴T_n＜

11

18

．…（14分）

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．