Question

設有不同的直線a，b和不同的平面α，β．給出下列命題：
①若a∥α，b∥β，且a∥β，則a∥b         ②若a⊥α，b⊥β，且α⊥β，則a⊥b
③若a∥α，b∥β，且a∥b，則a∥β         ④若a⊥α，b⊥β，且a⊥b，則α⊥β其中正確的題號是

②④

．

Answer 1

分析：借助于正方體模型加以解決：對于①：如圖，設正方體的上底面為α，下底面為β，若a∥α，b∥β，且a∥β，但a不平行于b；對于②：若a⊥α，b⊥β，且α⊥β，則a⊥b，由面面垂直的性質(zhì)可知，正確；對于③：如下圖，設正方體的下底面為α，上底面為β，若a∥α，b∥β，且a∥b，則a?β；對于④：若a⊥α，b⊥β，且a⊥b，面面垂直的判定定理知：α⊥β正確．

解答：解：利用正方體模型：
對于①：如上圖，設正方體的上底面為α，下底面為β，若a∥α，b∥β，且a∥β，但a不平行于b，故錯；
對于②：若a⊥α，b⊥β，且α⊥β，則a⊥b，由面面垂直的性質(zhì)可知，正確；
對于③：如下圖，設正方體的下底面為α，上底面為β，若a∥α，b∥β，且a∥b，則a?β，故③錯；
對于④：若a⊥α，b⊥β，且a⊥b，面面垂直的判定定理知：α⊥β正確．
其中正確的題號是 ②④．
故答案為：②④．

點評：本題考查平面的基本性質(zhì)及推論，解題的關鍵是有著較強的空間感知能力及對空間中線面，面面，線線位置關系的理解與掌握，此類題是訓練空間想像能力的題，屬于基本能力訓練題．