Question

設函數f（x）的定義域為R，如果存在函數g（x）=ax（a為常數），使得f（x）≥g（x）對于一切實數x都成立，那么稱g（x）為函數f（x）的一個承托函數．已知對于任意k∈（0，1），g（x）=ax是函數f（x）=e

x

k

的一個承托函數，記實數a的取值范圍為集合M，則有（　　）

A．e^-1?M，e?M

B．e^-1?M，e∈M

C．e^-1∈M，e?M

D．e^-1∈M，e∈M

Answer 1

分析：函數g（x）=ax（a為常數）是函數f（x）的一個承托函數，即說明函數f（x）的圖象恒在函數g（x）的上方（至多有一個交點），根據函數，再分離參數，確定函數的單調性，求最值，即可得到結論．

解答：解：令F（x）=e

x

k

-ax，則F（x）=e

x

k

-ax≥0對于任意k∈（0，1）恒成立
由題意，x＞0時，a≤

e x k

x

，x＜0時，a≥

e x k

x

，
下面考慮a≤

e x k

x

，令h（x）=

e x k

x

，則h′（x）=

( x k -1)e x k

x2

由h′（x）＜0得x＜k，由h′（x）＞0得x＞k，
所以h（x）在（0，k）上單調遞減，在（k，+∞）上單調遞增，
所以當x=k時h（x）取得最小值h（k）=

e

k

，
∴a≤

e

k

∵k∈（0，1），
∴a＜e
x＜0時，h′（x）＜0，h（x）在（-∞，0）上單調遞減，∴a≥0，
∴0＜a＜e
∴e^-1∈M，e∉M
故選C．

點評：本題考查新定義，考查函數恒成立問題，考查分析問題解決問題的能力，對于恒成立問題往往轉化為函數最值問題處理．