Question

【題目】已知是正項數列的前項和，，.

（1）證明：數列是等差數列；

（2）設，數列的前項和，

①求證：；

②解關于的不等式：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②，

【解析】

（1）運用數列的遞推式，結合等差數列的定義和通項公式，可得所求；

（2）①，運用數列的錯位相減法求和，結合等比數列的求和公式和不等式的性質，即可得證；

②原不等式化為，即，運用二項式定理和不等式的性質，可得解集．

（1）證明：是正項數列的求和，，，

可得，則，

當時，，又，

兩式相減可得，

化為，

由正項數列，可得，

可得數列是首項和公差均為1的等差數列；

（2）①證明：，前項和，

，

兩式相減可得，

化為，

可得；

②即，

化為，即，

，

可得時；時，；不成立，

故原不等式的解集為，．