Question

記函數f（x）=f₁（x），f（f（x））=f₂（x），它們定義域的交集為D，若對任意的x∈D，f₂（x）=x，則稱f（x）是集合M的元素，
例如f（x）=-x+1，對任意x∈R，f₂（x）=f（f（x））=-（-x+1）+1=x，故f（x）=-x+1∈M．
（1）設函數f（x）=log₂（1-2^x），判斷f（x）是否是M的元素，并求f（x）的反函數f^-1（x）；
（2）f(x)=

ax

x+b

∈M（a＜0），求使f（x）＜1成立的x的范圍．

Answer 1

分析：（1）根據題中的定義判斷f（x）是否是M的元素即可．再求得f（x）的反函數f^-1（x）；
（2）根據定義，問題可轉換為f₂（x）=f（f（x））=x對一切定義域中x恒成立．

a• ax x+b

ax x+b +b

=x，從而可得：（a+b）x²-（a²-b²）x=0恒成立，即a+b=0，故可解不等式，即可求使f（x）＜1成立的x的范圍．

解答：解：（1）∵f(f(x))=log2(1-2log2(1-2x))=log2(1-1+2x)=x
∴f（x）=log₂（1-2^x）∈M
設y=log₂（1-2^x）
由0＜1-2^x＜1解得：x＜0，y＜0
由y=log₂（1-2^x）得2^y=1-2^x，反函數為y=log_a（1-a^x），（x＜0）
（2）∵f(x)=

ax

x+b

∈M，
∴f₂（x）=f（f（x））=x對一切定義域中x恒成立．

a• ax x+b

ax x+b +b

=x，
解得：（a+b）x²-（a²-b²）x=0恒成立，故a+b=0
由f（x）＜1，得到

ax

x-a

-1＜0，

(a-1)x+a

x-a

＜0，由a＜0，

x- a 1-a

x-a

＞00＞

a

1-a

＞a，
故x的范圍為：x＞

a

1-a

或  x＜a

點評：本題以函數為載體，考查新定義，根據是對新定義的理解，同時考查學生等價轉化問題的能力．