Question

已知點F（1，0）和直線l₁：x=-1，直線l₂過直線l₁上的動點M且與直線l₁垂直，線段MF的垂直平分線l與直線l₂相交于點P．
（I）求點P的軌跡C的方程；
（II）設直線PF與軌跡C相交于另一點Q，與直線l₁相交于點N，求

NP

•

NQ

的最小值．

Answer 1

分析：（I）由題意可得，點P到點F（1，0）的距離等于點P到直線l₁：x=-1的距離，由拋物線的定義可得點P的軌跡是拋物線，從而求得方程．
（II）把直線PF的方程y=k（x-1）代入y²=4x化簡，把根與系數的關系代入

NP

•

NQ

=|

NP|

•|

NQ

|=

1+k2

|x1+1|•

1+k2

|x2+1| 化簡，再利用基本不等式求得

NP

•

NQ

的最小值．

解答：解：（I）連接PF，∵MF的中垂線l交l₂于點P，∴|PF|=|PM|，即點P到點F（1，0）的距離等于
點P到直線l₁：x=-1的距離，由拋物線的定義可得點P的軌跡C是以F為焦點，以直線l₁：x=-1為準線的拋物線，
方程為 y²=4x．
（II）把直線PF的方程y=k（x-1）代入y²=4x可得 k²x²-（2k²+4）x+k²=0，k≠0，且△＞0．
且x₁+x₂=

2k2+4

k2

，x₁•x₂=1．∵

NP

和

NQ

 同向，N（-1，-2k），
∴

NP

•

NQ

=|

NP|

•|

NQ

|=

1+k2

|x1+1|•

1+k2

|x2+1|=（1+k²）（x₁•x₂+x₁+x₂+1 ）
=4（k²+

1

k2

+2）≥16，當且僅當k=±1時，等號成立．
∴

NP

•

NQ

的最小值為16．

點評：本題考查拋物線的定義，一元二次方程根與系數的關系，基本不等式的應用，得到

NP

•

NQ

=|

NP|

•|

NQ

|=

1+k2

|x1+1|•

1+k2

|x2+1| 是解題的關鍵．