Question

已知定義域為R的奇函數f（x），當x＞0時，f（x）=lnx．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若函數h（x）=f（x）+

a

x

在[1，e]上的最小值為3，求a的值；
（3）若存在x₀∈[1，+∞），使得f（x₀）＞x₀²+

a

x0

，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數奇偶性的定義，得x＜0時f（x）=-f（-x）=-ln（-x），結合f（0）=0即可求出函數f（x）的解析式；
（2）求導數得h′（x）=

x-a

x2

，可得h′（x）=0的根為x=a．因此分a≤1、1＜a＜e和a≥e三種情況討論，分別得到函數在[1，e]上的單調性，再由最小值3建立關于a的等式，解之即可得到實數a的值；
（3）由題意得f（x）＞x²+

a

x

在[1，+∞）上有解，變形整理得a＜xlnx-x³在[1，+∞）上有解．再利用導數工具加以研究，可得當x∈[1，+∞）時g′（x）＜0恒成立，得g（x）在[1，+∞）上單調遞減，所以g（x）_max=g（1）=-1，由此即可得到實數a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）定義域為R的奇函數，
∴f（0）=0--------------------（1分）
當x＜0時，f（x）=-f（-x）=-ln（-x）
綜上所述，函數f（x）的解析式是f（x）=

lnx     (x＞0) 0        (x=0) -ln(-x)        (x＜0)

--------------（3分）
（2）由題意得h（x）=lnx+

a

x

，∴h′（x）=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

由h′（x）=0得x=a
①當a≤1時，f（x）在[1，e]上單調遞增
∴h（x）_min=h（1）=a
∴a=3，但不符合a≤1，舍去---------------------（6分）
②當1＜a＜e時，f（x）在[1，a]上單調遞減，在[a，e]上單調遞增
∴h（x）_min=h（a）=a
∴a=3，但不符合1＜a＜e，舍去---------------------（8分）
③當a≥e時，f（x）在[1，e]上單調遞減
∴h（x）_min=h（e）=1+

a

e

，可得1+

a

e

=3，解之得a=2e，符合題意
綜上所述：當a=2e時，h（x）=f（x）+

a

x

在[1，e]上的最小值為3-----------（10分）
（3）由題意：f（x）＞x²+

a

x

在[1，+∞）上有解
即a＜xlnx-x³在[1，+∞）上有解--------------------（12分）
設g（x）=xlnx-x³，其中x∈[1，+∞），可得g′（x）=lnx+1-3x²
設φ（x）=lnx+1-3x² （x∈[1，+∞）），則φ′（x）=

1

x

-6x
當x∈[1，+∞）時φ′（x）＜0恒成立，可得φ（x）在[1，+∞）上單調遞減
∴φ（x）≤φ（1）=-2，得φ（x）在[1，+∞）上恒為負數---------------------（14分）
∴當x∈[1，+∞）時g′（x）＜0恒成立，得g（x）在[1，+∞）上單調遞減
因此，g（x）_max=g（1）=-1
由此可得，實數a的取值范圍為（-∞，-1）．---------------------（16分）

點評：本題給出含有對數的函數，研究函數的奇偶性并求函數在閉區間上的最值．著重考查了利用導數工具研究函數的單調性、函數在閉區間上的最值和不等式恒成立問題等知識，屬于中檔題．