Question

【題目】如圖，已知， ， ，平面平面， ， ， 為中點(diǎn).

（Ⅰ）證明： 平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)解析；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）證明：設(shè)中點(diǎn)為，連可證∴

進(jìn)而證明平面.又平面，∴，∴又∴∴∵， 平面， 平面，∴平面.

（Ⅱ）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以方向?yàn)?/span>軸，以方向?yàn)?/span>軸，以方向?yàn)?/span>軸，建立如圖所示坐標(biāo)系，得到相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，設(shè)平面的法向量，可得， ，即可求得直線與平面所成角的余弦值.

試題解析：

（Ⅰ）證明：設(shè)中點(diǎn)為，連

∵為中點(diǎn)，∴

又由題意， ∴，且

∴四邊形為平等四邊形，∴

∵ ∴，又∵平面平面，平面平面， 平面，∴平面.

又平面，∴，∴又∴∴

∵， 平面， 平面，∴平面.

（Ⅱ）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以方向?yàn)?/span>軸，以方向?yàn)?/span>軸，以方向?yàn)?/span>軸，建立如圖所示坐標(biāo)系， ， ， ， ，設(shè)平面的法向量，則∴取，

∴

設(shè)直線與平面所成角為，則，∴

即直線與平面所成角的余弦值.