Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD垂直于底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD=90°，且AB=2AD=2DC=2PD=4，E為PA的中點．
（1）如圖，若正視方向與AD平行，請在下面（答題區）方框內作出該幾何體的正視圖并求出正視圖面積；
（2）證明：DE∥平面PBC；
（3）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（1）利用三視圖的定義作出正視圖．（2）利用線面平行的判定定理判斷線面平行．（3）利用錐體的體積公式求體積．

解答：解（1）正視圖如下：（沒標數據扣1分）…（3分）
主視圖面積S=

1

2

×4×2=4cm2…（5分）
（2）設PB的中點為F，連接EF，CF…（6分）
∵E，F分別是PA，PB的中點
∴EF∥AB
又DC∥AB∴EF∥DC
且EF=DC=

1

2

AB…（8分）
故四邊形CDEF是平行四邊形，
即可得ED∥CF，（9分）
又ED?平面PBC，CF?平面，
∴ED∥平面PBC（10分）
（3）∵PD⊥底面ABCD，∴PD=2是四棱錐P-ABCD的高  （11分）
∵AB=4，DC=2，AD=2
∴直角梯形ABCD的面積是S底=

1

2

AD•(AB+DC)=

1

2

×2×(2+4)=6（cm²）（13分）
∴四棱錐P-ABCD的體積是V=

1

3

S底•PD=

1

3

×6×2=4

&(cm3)

（14分）

點評：本題主要考查線面平行的判定以及錐體的體積公式，要求熟練掌握相應的判定定理．