Question

【題目】已知實數，函數.

（1）當時，求的最小值；

（2）當時,判斷的單調性,并說明理由；

（3）求實數的范圍，使得對于區間上的任意三個實數，都存在以為邊長的三角形.

Answer 1

【答案】（1）；（2）遞增，理由見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）研究函數問題，一般先研究函數的性質，如奇偶性，單調性，周期性等等，如本題中函數是偶函數，因此其最小值我們只要在時求得即可；（2）時，可化簡為，下面我們只要按照單調性的定義就可證明在上函數是單調遞增的，當然在上是遞減的；（3）處理此問題，首先通過換元法把問題簡化，設，則函數變為，問題變為求實數的范圍，使得在區間上，恒有．對于函數，我們知道，它在上遞減，在上遞增，故我們要討論它在區間上的最大（小）值，就必須分類討論，分類標準顯然是，，，在時還要討論最大值在區間的哪個端點取得，也即共分成四類．

試題解析：（1）研究函數問題，一般先研究函數的性質，如奇偶性，單調性，周期性等等，如本題中函數是偶函數，因此其最小值我們只要在時求得即可；

（2）時，可化簡為，下面我們只要按照單調性的定義就可證明在上函數是單調遞增的，當然在上是遞減的；

（3）處理此問題，首先通過換元法把問題簡化，設，則函數變為，問題變為求實數的范圍，使得在區間上，恒有．對于函數，我們知道，它在上遞減，在上遞增，故我們要討論它在區間上的最大（小）值，就必須分類討論，分類標準顯然是，，，在時還要討論最大值在區間的哪個端點取得，也即共分成四類．

（2）時,

時， 遞增； 時，遞減；

為偶函數.所以只對時，說明遞增.

設，所以，得

所以時， 遞增；

（3），，

從而原問題等價于求實數的范圍，使得在區間上，

恒有.

①當時，在上單調遞增，

由得，

從而；

②當時，在上單調遞減，在上單調遞增，

，

由得，從而；

③當時，在上單調遞減，在上單調遞增，

，

由得，從而；

④當時，在上單調遞減，

由得，從而；

綜上，.