Question

已知函數f（x）=ln（e^x+a）（a為常數）是實數集R上的奇函數，函數g（x）=λx-cosx在區間[

π

3

，

2

3

π]上是減函數．
（Ⅰ）求a的值與λ的范圍；
（Ⅱ）若對（Ⅰ）中所得的任意實數λ都有g（x）≤λt-1在x∈[

π

3

，

2

3

π]上恒成立，求實數t的取值范圍；
（Ⅲ）若m＞0，試討論關于x的方程

lnx

f(x)

=x2-2ex+m的根的個數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數f（x）=ln（e^x+a）（a為常數）是實數集R上的奇函數，可得出f（x）+f（-x）=0，由此方程恒成立求a，g（x）=λx-cosx在區間[

π

3

，

2

3

π]上是減函數可得出其導數符號在區間[

π

3

，

2

3

π]上恒負；
（Ⅱ）對（Ⅰ）中所得的任意實數λ都有g（x）≤λt-1在x∈[

π

3

，

2

3

π]上恒成立，可知g（x）_max≤λt-1，由此不等式解出實數t的取值范圍；
（Ⅲ）構造兩個函數f₁（x）=

lnx

x

，f₂（x）=x²-2ex+m，將方程有根的問題轉化為函數有交點的問題進行研究．

解答：解：（Ⅰ）∵函數f（x）=ln（e^x+a）（a為常數）是實數集R上的奇函數
∴f（x）+f（-x）=0即ln（e^x+a）+ln（e^-x+a）=0，即（e^x+a）（e^-x+a）=1，整理得a（e^-x+e^x+a）=0恒成立，故a=0
又g（x）=λx-cosx在區間[

π

3

，

2

3

π]上是減函數
g′（x）=λ+sinx在區間[

π

3

，

2

3

π]上恒小于等于0即，λ≤-sinx在區間[

π

3

，

2

3

π]上恒成立，可得λ≤-1
（Ⅱ）函數g（x）=λx-cosx在區間[

π

3

，

2

3

π]上是減函數，故函數g（x）的最大值是

π

3

λ-

1

2

≤λt-1，即t≤

π

3

+

1

2λ

由（Ⅰ）知λ≤-1，

π

3

+

1

2λ

在（-∞，-1）上是減函數，故t≤

π

3

-

1

2

（Ⅲ）

lnx

f(x)

=x2-2ex+m，由（Ⅰ）知f（x）=x，故方程可變為

lnx

x

=x2-2ex+m
令f₁（x）=

lnx

x

，f₂（x）=x²-2ex+m
則f₁′（x）=

1-lnx

x2

，當x∈（0，e）時f₁′（x）＞0，f₁（x）為增函數；當x∈（e，+∞）時f₁′（x）＜0，f₁（x）為減函數；
∴當x=e時，f₁（x）的最大值為f₁（e）=

1

e

而f₂（x）=x²-2ex+m=（x-e）²-e²+m²，
結合f₁（x）與f₂（x）的大致圖象可得
當-e²+m＞

1

e

，即 m＞e²+

1

e

時，方程無實根；
-e²+m=

1

e

，m=e²+

1

e

時，方程有一個實根；
-e²+m＜

1

e

，0＜m＜e²+

1

e

時，方程有兩個實根；

點評：本題考查導數在最大值與最小值問題中的應用，解答本題關鍵是掌握導數與單調性的關系，由函數的單調性判斷出函數的最值，本題中第二問中的恒成立的問題就是一個求最值，利用最值建立不等式的題型，本類題運算量大，且多是符號算，故解題時要嚴謹認真，避免因運算失誤或變形失誤導致解題失敗．