Question

（本題滿分14分）
已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，左右焦點分別為F₁，F₂；且
點在橢圓C上．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過F₁的直線l與橢圓C相交于A、B兩點，且△AF₂B的面積為，求以F₂為圓
心且與直線l相切的圓的方程．

Answer 1

解：(1)設橢圓的方程為，由題意可得：
橢圓C兩焦點坐標分別為F₁(-1,0），F₂(1,0)． ………………2分

,又c="1," b²=4-l=3,
故橢圓的方程為．…………4分
(2)當直線l⊥x軸，計算得到：
，不符合題意，…………………6分
當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為：y=k(x+1)，
由，消去y得
顯然△>O成立，設
則  ………………8分
又
即 ' …………………………………………10分
又圓F₂的半徑    ……………………………11分
所以
化簡，得，即，解得k=±1，……l3分
所以，，故圓F₂的方程為：(x-1)²+y²=2．……………l4分
(2)另解：設直線l的方程為x=ty-1，
由，消去x得，△>O恒成立，
設,則
所以
又圓F₂的半徑為
所以，解得t²=1，
所以．故圓F₂的方程為：

略