Question

【題目】如圖，四棱錐中，平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，且，，E是棱BC上的動點，F是線段PE的中點．

（Ⅰ）求證：平面ADF；

（Ⅱ）若直線DE與平面ADF所成角為30°，求EC的長．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）

【解析】

方法1：（Ⅰ）取棱PB，PC的中點分別為M，N，連結AM，MN，ND，

由，可得，由平面PAB，可得，利用線面垂直的判斷定理可以證明平面ADF；

（Ⅱ）方法1：由（Ⅰ）知平面AMND，在平面PBC內作，交MN于H，則平面AMND，連結DH，則就是直線DE與平面ADF所成角，即.通過三角函數，勾股定理，最后可以求出EC的長；

方法2：如圖，以A為坐標原點建立空間直角坐標系，求出的坐標，設出點坐標，求出坐標.

（Ⅰ）求出平面ADF的法向量和向量的坐標表示，從而可以證明平面ADF；

（Ⅱ）設直線DE與平面ADF所成角為，求線面角的坐標表示公式，可以求出點坐標，最后求出EC的長．

方法1：（Ⅰ）取棱PB，PC的中點分別為M，N，

連結AM，MN，ND，

因為，所以，

又因為平面PAB，平面PAB，

所以，且，

所以平面ADF．

（Ⅱ）方法1：由（Ⅰ）知平面AMND，在平面PBC內作，交MN于H，則平面AMND，連結DH，則就是直線DE與平面ADF所成角，即.

又因為，所以，得到．

因為，所以，

所以，故．

方法2：如圖，以A為坐標原點建立空間直角坐標系，

則，

.

（I），

設平面ADF的法向量為，

則，從而取.

又，所以，從而平面ADF．

（Ⅱ）設直線DE與平面ADF所成角為，

由，平面ADF的法向量為，

故，解得，

所以，因此．