Question

根據我國汽車制造的現實情況，一般卡車高3 m，寬1.6 m.現要設計橫斷面為拋物線型的雙向二車道的公路隧道，為保障雙向行駛安全，交通管理規定汽車進入隧道后必須保持距中線0.4 m的距離行駛.已知拱口AB寬恰好是拱高OC的4倍，若拱寬為a m，求能使卡車安全通過的a的最小整數值.

Answer 1

解：如下圖，以拱口AB所在直線為x軸，以拱高OC所在直線為y軸建立直角坐標系，由題意可得拋物線的方程為x²=－2p（y－），

∵點A（－，0）在拋物線上，∴（－）²=－2p（0－），得p=.
∴拋物線方程為x²=－a（y－）.
取x=1.6+0.4=2，代入拋物線方程，得2²=－a（y－），y=.
由題意，令y＞3，得＞3，
∵a＞0，∴a²－12a－16＞0.∴a＞6+2.
又∵a∈Z，∴a應取14，15，16，….
答：滿足本題條件使卡車安全通過的a的最小正整數為14 m

略